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Theorem ltrncnv

Description: The converse of a lattice translation is a lattice translation. (Contributed by NM, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses ltrncnv.h 
|- H = ( LHyp ` K )
ltrncnv.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion ltrncnv 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrncnv.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 ltrncnv.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 eqid 
 |-  ( ( LDil ` K ) ` W ) = ( ( LDil ` K ) ` W )
4 1 3 2 ltrnldil 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
5 1 3 ldilcnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) -> `' F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
6 4 5 syldan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
7 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) )
8 simp1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simp1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> F e. T )
10 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
11 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> -. p ( le ` K ) W )
12 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
13 eqid 
 |-  ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
14 12 13 1 2 ltrncnvel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` p ) e. ( Atoms ` K ) /\ -. ( `' F ` p ) ( le ` K ) W ) )
15 8 9 10 11 14 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` p ) e. ( Atoms ` K ) /\ -. ( `' F ` p ) ( le ` K ) W ) )
16 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) )
17 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> -. q ( le ` K ) W )
18 12 13 1 2 ltrncnvel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` q ) e. ( Atoms ` K ) /\ -. ( `' F ` q ) ( le ` K ) W ) )
19 8 9 16 17 18 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` q ) e. ( Atoms ` K ) /\ -. ( `' F ` q ) ( le ` K ) W ) )
20 eqid 
 |-  ( join ` K ) = ( join ` K )
21 eqid 
 |-  ( meet ` K ) = ( meet ` K )
22 12 20 21 13 1 2 ltrnu 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( ( `' F ` p ) e. ( Atoms ` K ) /\ -. ( `' F ` p ) ( le ` K ) W ) /\ ( ( `' F ` q ) e. ( Atoms ` K ) /\ -. ( `' F ` q ) ( le ` K ) W ) ) -> ( ( ( `' F ` p ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` p ) ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( ( `' F ` q ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` q ) ) ) ( meet ` K ) W ) )
23 7 15 19 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( ( `' F ` p ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` p ) ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( ( `' F ` q ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` q ) ) ) ( meet ` K ) W ) )
24 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
25 24 1 2 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
26 25 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
27 24 13 atbase 
 |-  ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. ( Base ` K ) )
28 10 27 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> p e. ( Base ` K ) )
29 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ p e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` ( `' F ` p ) ) = p )
30 26 28 29 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( F ` ( `' F ` p ) ) = p )
31 30 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` p ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` p ) ) ) = ( ( `' F ` p ) ( join ` K ) p ) )
32 simp1ll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> K e. HL )
33 12 13 1 2 ltrncnvat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( `' F ` p ) e. ( Atoms ` K ) )
34 8 9 10 33 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( `' F ` p ) e. ( Atoms ` K ) )
35 20 13 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( `' F ` p ) e. ( Atoms ` K ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( `' F ` p ) ( join ` K ) p ) = ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) )
36 32 34 10 35 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` p ) ( join ` K ) p ) = ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) )
37 31 36 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` p ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` p ) ) ) = ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) )
38 37 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( ( `' F ` p ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` p ) ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) ( meet ` K ) W ) )
39 24 13 atbase 
 |-  ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. ( Base ` K ) )
40 16 39 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> q e. ( Base ` K ) )
41 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ q e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` ( `' F ` q ) ) = q )
42 26 40 41 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( F ` ( `' F ` q ) ) = q )
43 42 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` q ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` q ) ) ) = ( ( `' F ` q ) ( join ` K ) q ) )
44 12 13 1 2 ltrncnvat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( `' F ` q ) e. ( Atoms ` K ) )
45 8 9 16 44 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( `' F ` q ) e. ( Atoms ` K ) )
46 20 13 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( `' F ` q ) e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( `' F ` q ) ( join ` K ) q ) = ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) )
47 32 45 16 46 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` q ) ( join ` K ) q ) = ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) )
48 43 47 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( `' F ` q ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` q ) ) ) = ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) )
49 48 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( ( `' F ` q ) ( join ` K ) ( F ` ( `' F ` q ) ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) ( meet ` K ) W ) )
50 23 38 49 3eqtr3d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) ( meet ` K ) W ) )
51 50 3exp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) )
52 51 ralrimivv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) )
53 12 20 21 13 1 3 2 isltrn 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( `' F e. T <-> ( `' F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) )
54 53 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( `' F e. T <-> ( `' F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( `' F ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( `' F ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) )
55 6 52 54 mpbir2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )