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Theorem ltrncnvel

Description: The converse of the lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom. (Contributed by NM, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses ltrnel.l 
|- .<_ = ( le ` K )
ltrnel.a 
|- A = ( Atoms ` K )
ltrnel.h 
|- H = ( LHyp ` K )
ltrnel.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion ltrncnvel 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( `' F ` P ) e. A /\ -. ( `' F ` P ) .<_ W ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrnel.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 ltrnel.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 ltrnel.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 ltrnel.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 1 2 3 4 ltrncnvat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. A ) -> ( `' F ` P ) e. A )
6 5 3adant3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( `' F ` P ) e. A )
7 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> -. P .<_ W )
8 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
10 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
11 10 2 atbase 
 |-  ( ( `' F ` P ) e. A -> ( `' F ` P ) e. ( Base ` K ) )
12 6 11 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( `' F ` P ) e. ( Base ` K ) )
13 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
14 10 3 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
16 10 1 3 4 ltrnle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( `' F ` P ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( `' F ` P ) .<_ W <-> ( F ` ( `' F ` P ) ) .<_ ( F ` W ) ) )
17 8 9 12 15 16 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( `' F ` P ) .<_ W <-> ( F ` ( `' F ` P ) ) .<_ ( F ` W ) ) )
18 10 3 4 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
19 18 3adant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
20 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
21 10 2 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
22 20 21 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
23 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` ( `' F ` P ) ) = P )
24 19 22 23 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( F ` ( `' F ` P ) ) = P )
25 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
26 25 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. Lat )
27 10 1 latref 
 |-  ( ( K e. Lat /\ W e. ( Base ` K ) ) -> W .<_ W )
28 26 15 27 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W .<_ W )
29 10 1 3 4 ltrnval1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( W e. ( Base ` K ) /\ W .<_ W ) ) -> ( F ` W ) = W )
30 8 9 15 28 29 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( F ` W ) = W )
31 24 30 breq12d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` P ) ) .<_ ( F ` W ) <-> P .<_ W ) )
32 17 31 bitrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( `' F ` P ) .<_ W <-> P .<_ W ) )
33 7 32 mtbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> -. ( `' F ` P ) .<_ W )
34 6 33 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( `' F ` P ) e. A /\ -. ( `' F ` P ) .<_ W ) )