| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
lssats2.s |
|- S = ( LSubSp ` W ) |
| 2 |
|
lssats2.n |
|- N = ( LSpan ` W ) |
| 3 |
|
lssats2.w |
|- ( ph -> W e. LMod ) |
| 4 |
|
lssats2.u |
|- ( ph -> U e. S ) |
| 5 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U ) |
| 6 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. U ) -> W e. LMod ) |
| 7 |
|
eqid |
|- ( Base ` W ) = ( Base ` W ) |
| 8 |
7 1
|
lssel |
|- ( ( U e. S /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) ) |
| 9 |
4 8
|
sylan |
|- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) ) |
| 10 |
7 2
|
lspsnid |
|- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) ) -> y e. ( N ` { y } ) ) |
| 11 |
6 9 10
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( N ` { y } ) ) |
| 12 |
|
sneq |
|- ( x = y -> { x } = { y } ) |
| 13 |
12
|
fveq2d |
|- ( x = y -> ( N ` { x } ) = ( N ` { y } ) ) |
| 14 |
13
|
eleq2d |
|- ( x = y -> ( y e. ( N ` { x } ) <-> y e. ( N ` { y } ) ) ) |
| 15 |
14
|
rspcev |
|- ( ( y e. U /\ y e. ( N ` { y } ) ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) |
| 16 |
5 11 15
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. U ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) |
| 17 |
16
|
ex |
|- ( ph -> ( y e. U -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) ) |
| 18 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. U ) -> W e. LMod ) |
| 19 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. U ) -> U e. S ) |
| 20 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. U ) |
| 21 |
1 2 18 19 20
|
ellspsn5 |
|- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( N ` { x } ) C_ U ) |
| 22 |
21
|
sseld |
|- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) ) |
| 23 |
22
|
rexlimdva |
|- ( ph -> ( E. x e. U y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) ) |
| 24 |
17 23
|
impbid |
|- ( ph -> ( y e. U <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) ) |
| 25 |
|
eliun |
|- ( y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) |
| 26 |
24 25
|
bitr4di |
|- ( ph -> ( y e. U <-> y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) ) ) |
| 27 |
26
|
eqrdv |
|- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) ) |