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Metamath Proof Explorer

Theorem lenegsq

Description: Comparison to a nonnegative number based on comparison to squares. (Contributed by NM, 16-Jan-2006)

Ref Expression
Assertion lenegsq 
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A <_ B /\ -u A <_ B ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 recn 
 |-  ( A e. RR -> A e. CC )
2 abscl 
 |-  ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3 absge0 
 |-  ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
4 2 3 jca 
 |-  ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
5 1 4 syl 
 |-  ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
6 le2sq 
 |-  ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
7 5 6 sylan 
 |-  ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
8 absle 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
9 lenegcon1 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ A ) )
10 9 anbi1d 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u A <_ B /\ A <_ B ) <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
11 ancom 
 |-  ( ( -u A <_ B /\ A <_ B ) <-> ( A <_ B /\ -u A <_ B ) )
12 10 11 bitr3di 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u B <_ A /\ A <_ B ) <-> ( A <_ B /\ -u A <_ B ) ) )
13 8 12 bitrd 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( A <_ B /\ -u A <_ B ) ) )
14 13 adantrr 
 |-  ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( A <_ B /\ -u A <_ B ) ) )
15 absresq 
 |-  ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
16 15 breq1d 
 |-  ( A e. RR -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
17 16 adantr 
 |-  ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
18 7 14 17 3bitr3d 
 |-  ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A <_ B /\ -u A <_ B ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
19 18 3impb 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A <_ B /\ -u A <_ B ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )