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Theorem latjlej12

Description: Add join to both sides of a lattice ordering. ( chlej12i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses latlej.b 
|- B = ( Base ` K )
latlej.l 
|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j 
|- .\/ = ( join ` K )
Assertion latjlej12 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Z .<_ W ) -> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latlej.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 latlej.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 latlej.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 simp1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> K e. Lat )
5 simp2l 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
6 simp2r 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
7 simp3l 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
8 1 2 3 latjlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
9 4 5 6 7 8 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
10 simp3r 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11 1 2 3 latjlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Z .<_ W -> ( Y .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ W ) ) )
12 4 7 10 6 11 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .<_ W -> ( Y .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ W ) ) )
13 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .\/ Z ) e. B )
14 4 5 7 13 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .\/ Z ) e. B )
15 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
16 4 6 7 15 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
17 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y .\/ W ) e. B )
18 4 6 10 17 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .\/ W ) e. B )
19 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( X .\/ Z ) e. B /\ ( Y .\/ Z ) e. B /\ ( Y .\/ W ) e. B ) ) -> ( ( ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ Z ) /\ ( Y .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ W ) ) -> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ W ) ) )
20 4 14 16 18 19 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ Z ) /\ ( Y .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ W ) ) -> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ W ) ) )
21 9 12 20 syl2and 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Z .<_ W ) -> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ W ) ) )