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Theorem latjlej1

Description: Add join to both sides of a lattice ordering. ( chlej1i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses latlej.b 
|- B = ( Base ` K )
latlej.l 
|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j 
|- .\/ = ( join ` K )
Assertion latjlej1 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latlej.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 latlej.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 latlej.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 1 2 3 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> Y .<_ ( Y .\/ Z ) )
5 4 3adant3r1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y .<_ ( Y .\/ Z ) )
6 simpl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
7 simpr1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
8 simpr2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
9 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
10 9 3adant3r1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
11 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .\/ Z ) e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
12 6 7 8 10 11 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
13 5 12 mpan2d 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
14 1 2 3 latlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> Z .<_ ( Y .\/ Z ) )
15 14 3adant3r1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z .<_ ( Y .\/ Z ) )
16 13 15 jctird 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X .<_ ( Y .\/ Z ) /\ Z .<_ ( Y .\/ Z ) ) ) )
17 simpr3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
18 7 17 10 3jca 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .\/ Z ) e. B ) )
19 1 2 3 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .\/ Z ) e. B ) ) -> ( ( X .<_ ( Y .\/ Z ) /\ Z .<_ ( Y .\/ Z ) ) <-> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
20 18 19 syldan 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ ( Y .\/ Z ) /\ Z .<_ ( Y .\/ Z ) ) <-> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
21 16 20 sylibd 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X .\/ Z ) .<_ ( Y .\/ Z ) ) )