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Theorem joineu

Description: Uniqueness of join of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018)

Ref Expression
Hypotheses joinval2.b 
|- B = ( Base ` K )
joinval2.l 
|- .<_ = ( le ` K )
joinval2.j 
|- .\/ = ( join ` K )
joinval2.k 
|- ( ph -> K e. V )
joinval2.x 
|- ( ph -> X e. B )
joinval2.y 
|- ( ph -> Y e. B )
joinlem.e 
|- ( ph -> <. X , Y >. e. dom .\/ )
Assertion joineu 
|- ( ph -> E! x e. B ( ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) /\ A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 joinval2.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 joinval2.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 joinval2.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 joinval2.k 
 |-  ( ph -> K e. V )
5 joinval2.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
6 joinval2.y 
 |-  ( ph -> Y e. B )
7 joinlem.e 
 |-  ( ph -> <. X , Y >. e. dom .\/ )
8 eqid 
 |-  ( lub ` K ) = ( lub ` K )
9 8 3 4 5 6 joindef 
 |-  ( ph -> ( <. X , Y >. e. dom .\/ <-> { X , Y } e. dom ( lub ` K ) ) )
10 biid 
 |-  ( ( A. y e. { X , Y } y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. { X , Y } y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
11 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ { X , Y } e. dom ( lub ` K ) ) -> K e. V )
12 simpr 
 |-  ( ( ph /\ { X , Y } e. dom ( lub ` K ) ) -> { X , Y } e. dom ( lub ` K ) )
13 1 2 8 10 11 12 lubeu 
 |-  ( ( ph /\ { X , Y } e. dom ( lub ` K ) ) -> E! x e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
14 13 ex 
 |-  ( ph -> ( { X , Y } e. dom ( lub ` K ) -> E! x e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
15 1 2 3 4 5 6 joinval2lem 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( A. y e. { X , Y } y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) /\ A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
16 5 6 15 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( A. y e. { X , Y } y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) /\ A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
17 16 reubidv 
 |-  ( ph -> ( E! x e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> E! x e. B ( ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) /\ A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
18 14 17 sylibd 
 |-  ( ph -> ( { X , Y } e. dom ( lub ` K ) -> E! x e. B ( ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) /\ A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
19 9 18 sylbid 
 |-  ( ph -> ( <. X , Y >. e. dom .\/ -> E! x e. B ( ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) /\ A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
20 7 19 mpd 
 |-  ( ph -> E! x e. B ( ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) /\ A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )