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Theorem iunun

Description: Separate a union in an indexed union. (Contributed by NM, 27-Dec-2004) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016)

Ref Expression
Assertion iunun 
|- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 r19.43 
 |-  ( E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
2 elun 
 |-  ( y e. ( B u. C ) <-> ( y e. B \/ y e. C ) )
3 2 rexbii 
 |-  ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) )
4 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
6 4 5 orbi12i 
 |-  ( ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
7 1 3 6 3bitr4i 
 |-  ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
8 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> E. x e. A y e. ( B u. C ) )
9 elun 
 |-  ( y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
10 7 8 9 3bitr4i 
 |-  ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) )
11 10 eqriv 
 |-  U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )