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Theorem iunxun

Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016)

Ref Expression
Assertion iunxun 
|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rexun 
 |-  ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
2 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
3 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. B C <-> E. x e. B y e. C )
4 2 3 orbi12i 
 |-  ( ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
5 1 4 bitr4i 
 |-  ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
6 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> E. x e. ( A u. B ) y e. C )
7 elun 
 |-  ( y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
8 5 6 7 3bitr4i 
 |-  ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) )
9 8 eqriv 
 |-  U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )