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Theorem iuncld

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015)

Ref Expression
Hypothesis clscld.1 
|- X = U. J
Assertion iuncld 
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 clscld.1 
 |-  X = U. J
2 difin 
 |-  ( X \ ( X i^i |^|_ x e. A ( X \ B ) ) ) = ( X \ |^|_ x e. A ( X \ B ) )
3 iundif2 
 |-  U_ x e. A ( X \ ( X \ B ) ) = ( X \ |^|_ x e. A ( X \ B ) )
4 2 3 eqtr4i 
 |-  ( X \ ( X i^i |^|_ x e. A ( X \ B ) ) ) = U_ x e. A ( X \ ( X \ B ) )
5 1 cldss 
 |-  ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ X )
6 dfss4 
 |-  ( B C_ X <-> ( X \ ( X \ B ) ) = B )
7 5 6 sylib 
 |-  ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ ( X \ B ) ) = B )
8 7 ralimi 
 |-  ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> A. x e. A ( X \ ( X \ B ) ) = B )
9 8 3ad2ant3 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> A. x e. A ( X \ ( X \ B ) ) = B )
10 iuneq2 
 |-  ( A. x e. A ( X \ ( X \ B ) ) = B -> U_ x e. A ( X \ ( X \ B ) ) = U_ x e. A B )
11 9 10 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A ( X \ ( X \ B ) ) = U_ x e. A B )
12 4 11 eqtrid 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( X \ ( X i^i |^|_ x e. A ( X \ B ) ) ) = U_ x e. A B )
13 simp1 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
14 1 cldopn 
 |-  ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ B ) e. J )
15 14 ralimi 
 |-  ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> A. x e. A ( X \ B ) e. J )
16 1 riinopn 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( X \ B ) e. J ) -> ( X i^i |^|_ x e. A ( X \ B ) ) e. J )
17 15 16 syl3an3 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A ( X \ B ) ) e. J )
18 1 opncld 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( X i^i |^|_ x e. A ( X \ B ) ) e. J ) -> ( X \ ( X i^i |^|_ x e. A ( X \ B ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
19 13 17 18 syl2anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( X \ ( X i^i |^|_ x e. A ( X \ B ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
20 12 19 eqeltrrd 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )