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Theorem isringrng

Description: The predicate "is a unital ring" as extension of the predicate "is a non-unital ring". (Contributed by AV, 17-Feb-2020)

Ref Expression
Hypotheses isringrng.b 
|- B = ( Base ` R )
isringrng.t 
|- .x. = ( .r ` R )
Assertion isringrng 
|- ( R e. Ring <-> ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isringrng.b 
 |-  B = ( Base ` R )
2 isringrng.t 
 |-  .x. = ( .r ` R )
3 ringrng 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Rng )
4 1 2 ringideu 
 |-  ( R e. Ring -> E! x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) )
5 reurex 
 |-  ( E! x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) -> E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) )
6 4 5 syl 
 |-  ( R e. Ring -> E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) )
7 3 6 jca 
 |-  ( R e. Ring -> ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) )
8 rngabl 
 |-  ( R e. Rng -> R e. Abel )
9 ablgrp 
 |-  ( R e. Abel -> R e. Grp )
10 8 9 syl 
 |-  ( R e. Rng -> R e. Grp )
11 10 adantr 
 |-  ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> R e. Grp )
12 eqid 
 |-  ( mulGrp ` R ) = ( mulGrp ` R )
13 12 rngmgp 
 |-  ( R e. Rng -> ( mulGrp ` R ) e. Smgrp )
14 13 anim1i 
 |-  ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) )
15 12 1 mgpbas 
 |-  B = ( Base ` ( mulGrp ` R ) )
16 12 2 mgpplusg 
 |-  .x. = ( +g ` ( mulGrp ` R ) )
17 15 16 ismnddef 
 |-  ( ( mulGrp ` R ) e. Mnd <-> ( ( mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) )
18 14 17 sylibr 
 |-  ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> ( mulGrp ` R ) e. Mnd )
19 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
20 1 12 19 2 isrng 
 |-  ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ ( mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) ( x .x. z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) ( +g ` R ) ( y .x. z ) ) ) ) )
21 20 simp3bi 
 |-  ( R e. Rng -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) ( x .x. z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) ( +g ` R ) ( y .x. z ) ) ) )
22 21 adantr 
 |-  ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) ( x .x. z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) ( +g ` R ) ( y .x. z ) ) ) )
23 1 12 19 2 isring 
 |-  ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ ( mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) ( x .x. z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) ( +g ` R ) ( y .x. z ) ) ) ) )
24 11 18 22 23 syl3anbrc 
 |-  ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> R e. Ring )
25 7 24 impbii 
 |-  ( R e. Ring <-> ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) )