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Theorem ispsubsp2

Description: The predicate "is a projective subspace". (Contributed by NM, 13-Jan-2012)

Ref Expression
Hypotheses psubspset.l 
|- .<_ = ( le ` K )
psubspset.j 
|- .\/ = ( join ` K )
psubspset.a 
|- A = ( Atoms ` K )
psubspset.s 
|- S = ( PSubSp ` K )
Assertion ispsubsp2 
|- ( K e. D -> ( X e. S <-> ( X C_ A /\ A. p e. A ( E. q e. X E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psubspset.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 psubspset.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 psubspset.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 psubspset.s 
 |-  S = ( PSubSp ` K )
5 1 2 3 4 ispsubsp 
 |-  ( K e. D -> ( X e. S <-> ( X C_ A /\ A. q e. X A. r e. X A. p e. A ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) ) ) )
6 ralcom 
 |-  ( A. r e. X A. p e. A ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. p e. A A. r e. X ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
7 r19.23v 
 |-  ( A. r e. X ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
8 7 ralbii 
 |-  ( A. p e. A A. r e. X ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. p e. A ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
9 6 8 bitri 
 |-  ( A. r e. X A. p e. A ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. p e. A ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
10 9 ralbii 
 |-  ( A. q e. X A. r e. X A. p e. A ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. q e. X A. p e. A ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
11 ralcom 
 |-  ( A. q e. X A. p e. A ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. p e. A A. q e. X ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
12 r19.23v 
 |-  ( A. q e. X ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> ( E. q e. X E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
13 12 ralbii 
 |-  ( A. p e. A A. q e. X ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. p e. A ( E. q e. X E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
14 11 13 bitri 
 |-  ( A. q e. X A. p e. A ( E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. p e. A ( E. q e. X E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
15 10 14 bitri 
 |-  ( A. q e. X A. r e. X A. p e. A ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. p e. A ( E. q e. X E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) )
16 15 a1i 
 |-  ( K e. D -> ( A. q e. X A. r e. X A. p e. A ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) <-> A. p e. A ( E. q e. X E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) ) )
17 16 anbi2d 
 |-  ( K e. D -> ( ( X C_ A /\ A. q e. X A. r e. X A. p e. A ( p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) ) <-> ( X C_ A /\ A. p e. A ( E. q e. X E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) ) ) )
18 5 17 bitrd 
 |-  ( K e. D -> ( X e. S <-> ( X C_ A /\ A. p e. A ( E. q e. X E. r e. X p .<_ ( q .\/ r ) -> p e. X ) ) ) )