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Theorem ralcom

Description: Commutation of restricted universal quantifiers. See ralcom2 for a version without disjoint variable condition on x , y . This theorem should be used in place of ralcom2 since it depends on a smaller set of axioms. (Contributed by NM, 13-Oct-1999) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016)

Ref Expression
Assertion ralcom 
|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ancomst 
 |-  ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
2 1 2albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
3 alcom 
 |-  ( A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
4 2 3 bitri 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
5 r2al 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )
6 r2al 
 |-  ( A. y e. B A. x e. A ph <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
7 4 5 6 3bitr4i 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )