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Theorem isoeq4

Description: Equality theorem for isomorphisms. (Contributed by NM, 17-May-2004)

Ref Expression
Assertion isoeq4 
|- ( A = C -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , S ( C , B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 f1oeq2 
 |-  ( A = C -> ( H : A -1-1-onto-> B <-> H : C -1-1-onto-> B ) )
2 raleq 
 |-  ( A = C -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
3 2 raleqbi1dv 
 |-  ( A = C -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
4 1 3 anbi12d 
 |-  ( A = C -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : C -1-1-onto-> B /\ A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) )
5 df-isom 
 |-  ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
6 df-isom 
 |-  ( H Isom R , S ( C , B ) <-> ( H : C -1-1-onto-> B /\ A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
7 4 5 6 3bitr4g 
 |-  ( A = C -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , S ( C , B ) ) )