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Theorem hlrelat2

Description: A consequence of relative atomicity. ( chrelat2i analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012)

Ref Expression
Hypotheses hlrelat2.b 
|- B = ( Base ` K )
hlrelat2.l 
|- .<_ = ( le ` K )
hlrelat2.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion hlrelat2 
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y <-> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hlrelat2.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 hlrelat2.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 hlrelat2.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
5 eqid 
 |-  ( lt ` K ) = ( lt ` K )
6 eqid 
 |-  ( meet ` K ) = ( meet ` K )
7 1 2 5 6 latnlemlt 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X ) )
8 4 7 syl3an1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X ) )
9 simp1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. HL )
10 1 6 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( meet ` K ) Y ) e. B )
11 4 10 syl3an1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( meet ` K ) Y ) e. B )
12 simp2 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
13 eqid 
 |-  ( join ` K ) = ( join ` K )
14 1 2 5 13 3 hlrelat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( X ( meet ` K ) Y ) e. B /\ X e. B ) /\ ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X ) -> E. p e. A ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) )
15 14 ex 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X ( meet ` K ) Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X -> E. p e. A ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) ) )
16 9 11 12 15 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X -> E. p e. A ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) ) )
17 simpl1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. HL )
18 17 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. Lat )
19 11 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( X ( meet ` K ) Y ) e. B )
20 1 3 atbase 
 |-  ( p e. A -> p e. B )
21 20 adantl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> p e. B )
22 simpl2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> X e. B )
23 1 2 13 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) e. B /\ p e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) <-> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) )
24 18 19 21 22 23 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) <-> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) )
25 simpr 
 |-  ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) -> p .<_ X )
26 24 25 biimtrrdi 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X -> p .<_ X ) )
27 26 adantld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) -> p .<_ X ) )
28 simpl3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> Y e. B )
29 1 2 6 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) ) )
30 18 21 22 28 29 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) ) )
31 30 notbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> -. p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) ) )
32 1 2 5 13 latnle 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X ( meet ` K ) Y ) e. B /\ p e. B ) -> ( -. p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) ) )
33 18 19 21 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( -. p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) ) )
34 31 33 bitrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) ) )
35 34 24 anbi12d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) ) <-> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) ) )
36 pm3.21 
 |-  ( p .<_ Y -> ( p .<_ X -> ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
37 orcom 
 |-  ( ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) \/ -. p .<_ X ) <-> ( -. p .<_ X \/ ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
38 pm4.55 
 |-  ( -. ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ p .<_ X ) <-> ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) \/ -. p .<_ X ) )
39 imor 
 |-  ( ( p .<_ X -> ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) <-> ( -. p .<_ X \/ ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
40 37 38 39 3bitr4ri 
 |-  ( ( p .<_ X -> ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) <-> -. ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ p .<_ X ) )
41 36 40 sylib 
 |-  ( p .<_ Y -> -. ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ p .<_ X ) )
42 41 con2i 
 |-  ( ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ p .<_ X ) -> -. p .<_ Y )
43 42 adantrl 
 |-  ( ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) ) -> -. p .<_ Y )
44 35 43 biimtrrdi 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) -> -. p .<_ Y ) )
45 27 44 jcad 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) -> ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
46 45 reximdva 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. p e. A ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) -> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
47 16 46 syld 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X -> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
48 8 47 sylbid 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y -> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
49 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
50 18 21 22 28 49 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
51 50 exp4b 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. A -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
52 51 com34 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. A -> ( X .<_ Y -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
53 52 com23 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( p e. A -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
54 53 ralrimdv 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
55 iman 
 |-  ( ( p .<_ X -> p .<_ Y ) <-> -. ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) )
56 55 ralbii 
 |-  ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) <-> A. p e. A -. ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) )
57 ralnex 
 |-  ( A. p e. A -. ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) <-> -. E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) )
58 56 57 bitri 
 |-  ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) <-> -. E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) )
59 54 58 imbitrdi 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> -. E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
60 59 con2d 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) -> -. X .<_ Y ) )
61 48 60 impbid 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y <-> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )