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Theorem hausflim

Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015)

Ref Expression
Hypothesis flimcf.1 
|- X = U. J
Assertion hausflim 
|- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 flimcf.1 
 |-  X = U. J
2 haustop 
 |-  ( J e. Haus -> J e. Top )
3 hausflimi 
 |-  ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim f ) )
4 3 ralrimivw 
 |-  ( J e. Haus -> A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) )
5 2 4 jca 
 |-  ( J e. Haus -> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )
6 1 toptopon 
 |-  ( J e. Top <-> J e. ( TopOn ` X ) )
7 6 birani 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
8 simprll 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> z e. X )
9 8 snssd 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { z } C_ X )
10 8 snn0d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { z } =/= (/) )
11 neifil 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ { z } C_ X /\ { z } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) )
12 7 9 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) )
13 filfbas 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) )
14 12 13 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) )
15 simprlr 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> w e. X )
16 15 snssd 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { w } C_ X )
17 15 snn0d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { w } =/= (/) )
18 neifil 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ { w } C_ X /\ { w } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) )
19 7 16 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) )
20 filfbas 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) )
21 19 20 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) )
22 fbunfip 
 |-  ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) ) )
23 14 21 22 syl2anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) ) )
24 1 neisspw 
 |-  ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ~P X )
25 1 neisspw 
 |-  ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ~P X )
26 24 25 unssd 
 |-  ( J e. Top -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X )
27 26 adantr 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X )
28 27 a1d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X ) )
29 ssun1 
 |-  ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) )
30 filn0 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) )
31 12 30 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) )
32 ssn0 
 |-  ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) )
33 29 31 32 sylancr 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) )
34 33 a1d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) ) )
35 idd 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
36 28 34 35 3jcad 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
37 1 topopn 
 |-  ( J e. Top -> X e. J )
38 37 adantr 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> X e. J )
39 fsubbas 
 |-  ( X e. J -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
40 38 39 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
41 fgcl 
 |-  ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
42 41 adantl 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
43 simplrr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z =/= w )
44 8 adantr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z e. X )
45 15 adantr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> w e. X )
46 fvex 
 |-  ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V
47 fvex 
 |-  ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. _V
48 46 47 unex 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) e. _V
49 ssfii 
 |-  ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) e. _V -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) )
50 48 49 ax-mp 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) )
51 ssfg 
 |-  ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
52 51 adantl 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
53 50 52 sstrid 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
54 29 53 sstrid 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
55 7 adantr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
56 elflim 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( z e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
57 55 42 56 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( z e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
58 44 54 57 mpbir2and 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
59 53 unssbd 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
60 elflim 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( w e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
61 55 42 60 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( w e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
62 45 59 61 mpbir2and 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
63 eleq1w 
 |-  ( x = z -> ( x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
64 eleq1w 
 |-  ( x = w -> ( x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
65 63 64 moi 
 |-  ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) ) -> z = w )
66 65 3com23 
 |-  ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) /\ E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) -> z = w )
67 66 3expia 
 |-  ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) -> z = w ) )
68 44 45 58 62 67 syl22anc 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) -> z = w ) )
69 68 necon3ad 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( z =/= w -> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
70 43 69 mpd 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
71 oveq2 
 |-  ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( J fLim f ) = ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
72 71 eleq2d 
 |-  ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( x e. ( J fLim f ) <-> x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
73 72 mobidv 
 |-  ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim f ) <-> E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
74 73 notbid 
 |-  ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( -. E* x x e. ( J fLim f ) <-> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
75 74 rspcev 
 |-  ( ( ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) /\ -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) )
76 42 70 75 syl2anc 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) )
77 76 ex 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
78 40 77 sylbird 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
79 36 78 syld 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
80 23 79 sylbird 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
81 df-ne 
 |-  ( ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. ( u i^i v ) = (/) )
82 81 ralbii 
 |-  ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) -. ( u i^i v ) = (/) )
83 ralnex 
 |-  ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) -. ( u i^i v ) = (/) <-> -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
84 82 83 bitri 
 |-  ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
85 84 ralbii 
 |-  ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
86 ralnex 
 |-  ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) <-> -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
87 85 86 bitri 
 |-  ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
88 rexnal 
 |-  ( E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) <-> -. A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) )
89 80 87 88 3imtr3g 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) -> -. A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )
90 89 con4d 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
91 90 imp 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
92 91 an32s 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
93 92 expr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
94 93 ralrimivva 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
95 6 birani 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
96 hausnei2 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
97 95 96 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> ( J e. Haus <-> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
98 94 97 mpbird 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> J e. Haus )
99 5 98 impbii 
 |-  ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )