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Theorem grpnpncan

Description: Cancellation law for group subtraction. ( npncan analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses grpsubadd.b 
|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p 
|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m 
|- .- = ( -g ` G )
Assertion grpnpncan 
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ ( Y .- Z ) ) = ( X .- Z ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grpsubadd.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 grpsubadd.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 grpsubadd.m 
 |-  .- = ( -g ` G )
4 simpl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
5 1 3 grpsubcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
6 5 3adant3r3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) e. B )
7 simpr2 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
8 simpr3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
9 1 2 3 grpaddsubass 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( ( X .- Y ) e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( Y .- Z ) ) )
10 4 6 7 8 9 syl13anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .- Y ) .+ ( Y .- Z ) ) )
11 1 2 3 grpnpcan 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
12 11 3adant3r3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
13 12 oveq1d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .+ Y ) .- Z ) = ( X .- Z ) )
14 10 13 eqtr3d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ ( Y .- Z ) ) = ( X .- Z ) )