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Theorem fiun

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. Analogous to f1iun . (Contributed by AV, 6-Oct-2023)

Ref Expression
Hypotheses fiun.1 
|- ( x = y -> B = C )
fiun.2 
|- B e. _V
Assertion fiun 
|- ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fiun.1 
 |-  ( x = y -> B = C )
2 fiun.2 
 |-  B e. _V
3 vex 
 |-  u e. _V
4 eqeq1 
 |-  ( z = u -> ( z = B <-> u = B ) )
5 4 rexbidv 
 |-  ( z = u -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A u = B ) )
6 3 5 elab 
 |-  ( u e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A u = B )
7 r19.29 
 |-  ( ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> E. x e. A ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) )
8 nfv 
 |-  F/ x Fun u
9 nfre1 
 |-  F/ x E. x e. A z = B
10 9 nfab 
 |-  F/_ x { z | E. x e. A z = B }
11 nfv 
 |-  F/ x ( u C_ v \/ v C_ u )
12 10 11 nfralw 
 |-  F/ x A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u )
13 8 12 nfan 
 |-  F/ x ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
14 ffun 
 |-  ( B : D --> S -> Fun B )
15 funeq 
 |-  ( u = B -> ( Fun u <-> Fun B ) )
16 bianir 
 |-  ( ( Fun B /\ ( Fun u <-> Fun B ) ) -> Fun u )
17 14 15 16 syl2an 
 |-  ( ( B : D --> S /\ u = B ) -> Fun u )
18 17 adantlr 
 |-  ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> Fun u )
19 1 fiunlem 
 |-  ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
20 18 19 jca 
 |-  ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
21 20 a1i 
 |-  ( x e. A -> ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) )
22 13 21 rexlimi 
 |-  ( E. x e. A ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
23 7 22 syl 
 |-  ( ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
24 6 23 sylan2b 
 |-  ( ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
25 24 ralrimiva 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
26 fununi 
 |-  ( A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
27 25 26 syl 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
28 2 dfiun2 
 |-  U_ x e. A B = U. { z | E. x e. A z = B }
29 28 funeqi 
 |-  ( Fun U_ x e. A B <-> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
30 27 29 sylibr 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U_ x e. A B )
31 3 eldm2 
 |-  ( u e. dom B <-> E. v <. u , v >. e. B )
32 fdm 
 |-  ( B : D --> S -> dom B = D )
33 32 eleq2d 
 |-  ( B : D --> S -> ( u e. dom B <-> u e. D ) )
34 31 33 bitr3id 
 |-  ( B : D --> S -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
35 34 adantr 
 |-  ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
36 35 ralrexbid 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. x e. A u e. D ) )
37 eliun 
 |-  ( <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. u , v >. e. B )
38 37 exbii 
 |-  ( E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
39 3 eldm2 
 |-  ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B )
40 rexcom4 
 |-  ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
41 38 39 40 3bitr4i 
 |-  ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. x e. A E. v <. u , v >. e. B )
42 eliun 
 |-  ( u e. U_ x e. A D <-> E. x e. A u e. D )
43 36 41 42 3bitr4g 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( u e. dom U_ x e. A B <-> u e. U_ x e. A D ) )
44 43 eqrdv 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> dom U_ x e. A B = U_ x e. A D )
45 df-fn 
 |-  ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D <-> ( Fun U_ x e. A B /\ dom U_ x e. A B = U_ x e. A D ) )
46 30 44 45 sylanbrc 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B Fn U_ x e. A D )
47 rniun 
 |-  ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B
48 frn 
 |-  ( B : D --> S -> ran B C_ S )
49 48 adantr 
 |-  ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran B C_ S )
50 49 ralimi 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. x e. A ran B C_ S )
51 iunss 
 |-  ( U_ x e. A ran B C_ S <-> A. x e. A ran B C_ S )
52 50 51 sylibr 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A ran B C_ S )
53 47 52 eqsstrid 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran U_ x e. A B C_ S )
54 df-f 
 |-  ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S <-> ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D /\ ran U_ x e. A B C_ S ) )
55 46 53 54 sylanbrc 
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S )