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Metamath Proof Explorer

Theorem elpadd

Description: Member of a projective subspace sum. (Contributed by NM, 29-Dec-2011)

Ref Expression
Hypotheses paddfval.l 
|- .<_ = ( le ` K )
paddfval.j 
|- .\/ = ( join ` K )
paddfval.a 
|- A = ( Atoms ` K )
paddfval.p 
|- .+ = ( +P ` K )
Assertion elpadd 
|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( S e. ( X .+ Y ) <-> ( ( S e. X \/ S e. Y ) \/ ( S e. A /\ E. q e. X E. r e. Y S .<_ ( q .\/ r ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 paddfval.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 paddfval.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 paddfval.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 paddfval.p 
 |-  .+ = ( +P ` K )
5 1 2 3 4 paddval 
 |-  ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
6 5 eleq2d 
 |-  ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( S e. ( X .+ Y ) <-> S e. ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) )
7 elun 
 |-  ( S e. ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) <-> ( S e. ( X u. Y ) \/ S e. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
8 elun 
 |-  ( S e. ( X u. Y ) <-> ( S e. X \/ S e. Y ) )
9 breq1 
 |-  ( p = S -> ( p .<_ ( q .\/ r ) <-> S .<_ ( q .\/ r ) ) )
10 9 2rexbidv 
 |-  ( p = S -> ( E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) <-> E. q e. X E. r e. Y S .<_ ( q .\/ r ) ) )
11 10 elrab 
 |-  ( S e. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } <-> ( S e. A /\ E. q e. X E. r e. Y S .<_ ( q .\/ r ) ) )
12 8 11 orbi12i 
 |-  ( ( S e. ( X u. Y ) \/ S e. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) <-> ( ( S e. X \/ S e. Y ) \/ ( S e. A /\ E. q e. X E. r e. Y S .<_ ( q .\/ r ) ) ) )
13 7 12 bitri 
 |-  ( S e. ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) <-> ( ( S e. X \/ S e. Y ) \/ ( S e. A /\ E. q e. X E. r e. Y S .<_ ( q .\/ r ) ) ) )
14 6 13 bitrdi 
 |-  ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( S e. ( X .+ Y ) <-> ( ( S e. X \/ S e. Y ) \/ ( S e. A /\ E. q e. X E. r e. Y S .<_ ( q .\/ r ) ) ) ) )