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Metamath Proof Explorer

Theorem elintfv

Description: Membership in an intersection of function values. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021)

Ref Expression
Hypothesis elintfv.1 
|- X e. _V
Assertion elintfv 
|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elintfv.1 
 |-  X e. _V
2 1 elint 
 |-  ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) )
3 fvelimab 
 |-  ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( z e. ( F " B ) <-> E. y e. B ( F ` y ) = z ) )
4 3 imbi1d 
 |-  ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> ( E. y e. B ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
5 r19.23v 
 |-  ( A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> ( E. y e. B ( F ` y ) = z -> X e. z ) )
6 4 5 bitr4di 
 |-  ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
7 6 albidv 
 |-  ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
8 ralcom4 
 |-  ( A. y e. B A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) )
9 eqcom 
 |-  ( ( F ` y ) = z <-> z = ( F ` y ) )
10 9 imbi1i 
 |-  ( ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) )
11 10 albii 
 |-  ( A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. z ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) )
12 fvex 
 |-  ( F ` y ) e. _V
13 eleq2 
 |-  ( z = ( F ` y ) -> ( X e. z <-> X e. ( F ` y ) ) )
14 12 13 ceqsalv 
 |-  ( A. z ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) <-> X e. ( F ` y ) )
15 11 14 bitri 
 |-  ( A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> X e. ( F ` y ) )
16 15 ralbii 
 |-  ( A. y e. B A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) )
17 8 16 bitr3i 
 |-  ( A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) )
18 7 17 bitrdi 
 |-  ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )
19 2 18 bitrid 
 |-  ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )