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Theorem elfz2

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ . (Contributed by NM, 6-Sep-2005) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015)

Ref Expression
Assertion elfz2 
|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 anass 
 |-  ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
2 df-3an 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
3 2 anbi1i 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
4 elfz1 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5 3anass 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6 ibar 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
7 5 6 bitrid 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
8 4 7 bitrd 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
9 fzf 
 |-  ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
10 9 fdmi 
 |-  dom ... = ( ZZ X. ZZ )
11 10 ndmov 
 |-  ( -. ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = (/) )
12 11 eleq2d 
 |-  ( -. ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K e. (/) ) )
13 noel 
 |-  -. K e. (/)
14 13 pm2.21i 
 |-  ( K e. (/) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
15 simpl 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
16 14 15 pm5.21ni 
 |-  ( -. ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. (/) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
17 12 16 bitrd 
 |-  ( -. ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
18 8 17 pm2.61i 
 |-  ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
19 1 3 18 3bitr4ri 
 |-  ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )