This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem domtr

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of Suppes p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014)

Ref Expression
Assertion domtr 
|- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 reldom 
 |-  Rel ~<_
2 vex 
 |-  y e. _V
3 2 brdom 
 |-  ( x ~<_ y <-> E. g g : x -1-1-> y )
4 vex 
 |-  z e. _V
5 4 brdom 
 |-  ( y ~<_ z <-> E. f f : y -1-1-> z )
6 exdistrv 
 |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) )
7 f1co 
 |-  ( ( f : y -1-1-> z /\ g : x -1-1-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
8 7 ancoms 
 |-  ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
9 vex 
 |-  f e. _V
10 vex 
 |-  g e. _V
11 9 10 coex 
 |-  ( f o. g ) e. _V
12 f1eq1 
 |-  ( h = ( f o. g ) -> ( h : x -1-1-> z <-> ( f o. g ) : x -1-1-> z ) )
13 11 12 spcev 
 |-  ( ( f o. g ) : x -1-1-> z -> E. h h : x -1-1-> z )
14 8 13 syl 
 |-  ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> E. h h : x -1-1-> z )
15 4 brdom 
 |-  ( x ~<_ z <-> E. h h : x -1-1-> z )
16 14 15 sylibr 
 |-  ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
17 16 exlimivv 
 |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
18 6 17 sylbir 
 |-  ( ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
19 3 5 18 syl2anb 
 |-  ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ z ) -> x ~<_ z )
20 1 19 vtoclr 
 |-  ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )