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Theorem cdlemg17h

Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg12.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg12.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg12.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg12.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg12.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg12b.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemg17h 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( S = ( F ` P ) \/ S = ( F ` Q ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg12.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg12.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg12.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg12.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg12.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg12b.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL )
9 simp23r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) )
10 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> F e. T )
12 simp21l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> S e. A )
13 1 4 5 6 ltrncnvat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ S e. A ) -> ( `' F ` S ) e. A )
14 10 11 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( `' F ` S ) e. A )
15 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
16 15 4 atbase 
 |-  ( ( `' F ` S ) e. A -> ( `' F ` S ) e. ( Base ` K ) )
17 14 16 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( `' F ` S ) e. ( Base ` K ) )
18 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P e. A )
19 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> Q e. A )
20 15 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
21 8 18 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
22 15 1 5 6 ltrnle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( `' F ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( `' F ` S ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( F ` ( `' F ` S ) ) .<_ ( F ` ( P .\/ Q ) ) ) )
23 10 11 17 21 22 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( `' F ` S ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( F ` ( `' F ` S ) ) .<_ ( F ` ( P .\/ Q ) ) ) )
24 15 5 6 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
25 10 11 24 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
26 15 4 atbase 
 |-  ( S e. A -> S e. ( Base ` K ) )
27 12 26 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> S e. ( Base ` K ) )
28 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ S e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` ( `' F ` S ) ) = S )
29 25 27 28 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` S ) ) = S )
30 15 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
31 18 30 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
32 15 4 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
33 19 32 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
34 15 2 5 6 ltrnj 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) ) -> ( F ` ( P .\/ Q ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) )
35 10 11 31 33 34 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( F ` ( P .\/ Q ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) )
36 29 35 breq12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` S ) ) .<_ ( F ` ( P .\/ Q ) ) <-> S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) )
37 23 36 bitr2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) <-> ( `' F ` S ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
38 9 37 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( `' F ` S ) .<_ ( P .\/ Q ) )
39 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) )
40 simp23l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P =/= Q )
41 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
42 1 4 5 6 ltrncnvel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( ( `' F ` S ) e. A /\ -. ( `' F ` S ) .<_ W ) )
43 10 11 41 42 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( `' F ` S ) e. A /\ -. ( `' F ` S ) .<_ W ) )
44 1 2 4 cdleme0nex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( `' F ` S ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( `' F ` S ) e. A /\ -. ( `' F ` S ) .<_ W ) ) -> ( ( `' F ` S ) = P \/ ( `' F ` S ) = Q ) )
45 8 38 39 18 19 40 43 44 syl331anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( `' F ` S ) = P \/ ( `' F ` S ) = Q ) )
46 f1ocnvfvb 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) /\ S e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F ` P ) = S <-> ( `' F ` S ) = P ) )
47 25 31 27 46 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( F ` P ) = S <-> ( `' F ` S ) = P ) )
48 eqcom 
 |-  ( ( F ` P ) = S <-> S = ( F ` P ) )
49 47 48 bitr3di 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( `' F ` S ) = P <-> S = ( F ` P ) ) )
50 f1ocnvfvb 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) /\ S e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F ` Q ) = S <-> ( `' F ` S ) = Q ) )
51 25 33 27 50 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( F ` Q ) = S <-> ( `' F ` S ) = Q ) )
52 eqcom 
 |-  ( ( F ` Q ) = S <-> S = ( F ` Q ) )
53 51 52 bitr3di 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( `' F ` S ) = Q <-> S = ( F ` Q ) ) )
54 49 53 orbi12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( ( `' F ` S ) = P \/ ( `' F ` S ) = Q ) <-> ( S = ( F ` P ) \/ S = ( F ` Q ) ) ) )
55 45 54 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) ) ) /\ ( ( G ` P ) =/= P /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( S = ( F ` P ) \/ S = ( F ` Q ) ) )