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Theorem cdleme30a

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 9-Feb-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme30.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme30.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme30.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme30.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme30.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme30.h 
|- H = ( LHyp ` K )
Assertion cdleme30a 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme30.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme30.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme30.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme30.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme30.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme30.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. HL )
8 7 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. Lat )
9 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> s e. A )
10 1 5 atbase 
 |-  ( s e. A -> s e. B )
11 9 10 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> s e. B )
12 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. B )
13 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> W e. H )
14 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> W e. B )
16 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
17 8 12 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
18 simp22l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> X e. B )
19 1 3 latjass 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( s e. B /\ ( Y ./\ W ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) .\/ X ) = ( s .\/ ( ( Y ./\ W ) .\/ X ) ) )
20 8 11 17 18 19 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) .\/ X ) = ( s .\/ ( ( Y ./\ W ) .\/ X ) ) )
21 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X )
22 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ Y )
23 1 2 4 latmlem1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) )
24 8 18 12 15 23 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) )
25 22 24 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) )
26 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
27 8 18 15 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
28 1 2 3 latjlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( X ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) e. B /\ s e. B ) ) -> ( ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( s .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) ) )
29 8 27 17 11 28 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( s .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) ) )
30 25 29 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) )
31 21 30 eqbrtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) )
32 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ s e. B /\ ( Y ./\ W ) e. B ) -> ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B )
33 8 11 17 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B )
34 1 2 3 latleeqj2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B ) -> ( X .<_ ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) <-> ( ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) .\/ X ) = ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) ) )
35 8 18 33 34 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X .<_ ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) <-> ( ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) .\/ X ) = ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) ) )
36 31 35 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) .\/ X ) = ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) )
37 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
38 1 2 3 4 6 lhpmod2i2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ X e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( Y ./\ W ) .\/ X ) = ( Y ./\ ( W .\/ X ) ) )
39 37 12 18 22 38 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( Y ./\ W ) .\/ X ) = ( Y ./\ ( W .\/ X ) ) )
40 39 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( ( Y ./\ W ) .\/ X ) ) = ( s .\/ ( Y ./\ ( W .\/ X ) ) ) )
41 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
42 eqid 
 |-  ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
43 1 2 3 42 6 lhpj1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) -> ( W .\/ X ) = ( 1. ` K ) )
44 37 41 43 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( W .\/ X ) = ( 1. ` K ) )
45 44 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( Y ./\ ( W .\/ X ) ) = ( Y ./\ ( 1. ` K ) ) )
46 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
47 7 46 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. OL )
48 1 4 42 olm11 
 |-  ( ( K e. OL /\ Y e. B ) -> ( Y ./\ ( 1. ` K ) ) = Y )
49 47 12 48 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( Y ./\ ( 1. ` K ) ) = Y )
50 45 49 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( Y ./\ ( W .\/ X ) ) = Y )
51 50 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( Y ./\ ( W .\/ X ) ) ) = ( s .\/ Y ) )
52 1 2 3 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ s e. B /\ ( X ./\ W ) e. B ) -> s .<_ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) )
53 8 11 27 52 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> s .<_ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) )
54 53 21 breqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> s .<_ X )
55 1 2 8 11 18 12 54 22 lattrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> s .<_ Y )
56 1 2 3 latleeqj1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ s e. B /\ Y e. B ) -> ( s .<_ Y <-> ( s .\/ Y ) = Y ) )
57 8 11 12 56 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .<_ Y <-> ( s .\/ Y ) = Y ) )
58 55 57 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ Y ) = Y )
59 40 51 58 3eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( ( Y ./\ W ) .\/ X ) ) = Y )
60 20 36 59 3eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. A /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( s .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y )