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Theorem latleeqj1

Description: "Less than or equal to" in terms of join. ( chlejb1 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011)

Ref Expression
Hypotheses latlej.b 
|- B = ( Base ` K )
latlej.l 
|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j 
|- .\/ = ( join ` K )
Assertion latleeqj1 
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( X .\/ Y ) = Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latlej.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 latlej.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 latlej.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 1 2 latref 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B ) -> Y .<_ Y )
5 4 3adant2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y .<_ Y )
6 5 biantrud 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ Y ) ) )
7 simp1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Lat )
8 simp2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
9 simp3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
10 1 2 3 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Y ) <-> ( X .\/ Y ) .<_ Y ) )
11 7 8 9 9 10 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Y ) <-> ( X .\/ Y ) .<_ Y ) )
12 6 11 bitrd 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( X .\/ Y ) .<_ Y ) )
13 1 2 3 latlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y .<_ ( X .\/ Y ) )
14 13 biantrud 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) .<_ Y <-> ( ( X .\/ Y ) .<_ Y /\ Y .<_ ( X .\/ Y ) ) ) )
15 12 14 bitrd 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( ( X .\/ Y ) .<_ Y /\ Y .<_ ( X .\/ Y ) ) ) )
16 latpos 
 |-  ( K e. Lat -> K e. Poset )
17 16 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Poset )
18 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
19 1 2 posasymb 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .\/ Y ) .<_ Y /\ Y .<_ ( X .\/ Y ) ) <-> ( X .\/ Y ) = Y ) )
20 17 18 9 19 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .\/ Y ) .<_ Y /\ Y .<_ ( X .\/ Y ) ) <-> ( X .\/ Y ) = Y ) )
21 15 20 bitrd 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( X .\/ Y ) = Y ) )