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Theorem asymref2

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. (Contributed by NM, 6-May-2008) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Dec-2016)

Ref Expression
Assertion asymref2 
|- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 asymref 
 |-  ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )
2 albiim 
 |-  ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) <-> ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) )
3 2 ralbii 
 |-  ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) <-> A. x e. U. U. R ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) )
4 r19.26 
 |-  ( A. x e. U. U. R ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) <-> ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) )
5 ancom 
 |-  ( ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) <-> ( A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) /\ A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
6 equcom 
 |-  ( x = y <-> y = x )
7 6 imbi1i 
 |-  ( ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( y = x -> ( x R y /\ y R x ) ) )
8 7 albii 
 |-  ( A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> A. y ( y = x -> ( x R y /\ y R x ) ) )
9 breq2 
 |-  ( y = x -> ( x R y <-> x R x ) )
10 breq1 
 |-  ( y = x -> ( y R x <-> x R x ) )
11 9 10 anbi12d 
 |-  ( y = x -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x R x /\ x R x ) ) )
12 anidm 
 |-  ( ( x R x /\ x R x ) <-> x R x )
13 11 12 bitrdi 
 |-  ( y = x -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x R x ) )
14 13 equsalvw 
 |-  ( A. y ( y = x -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> x R x )
15 8 14 bitri 
 |-  ( A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> x R x )
16 15 ralbii 
 |-  ( A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> A. x e. U. U. R x R x )
17 df-ral 
 |-  ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
18 df-br 
 |-  ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
19 vex 
 |-  x e. _V
20 vex 
 |-  y e. _V
21 19 20 opeluu 
 |-  ( <. x , y >. e. R -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
22 21 simpld 
 |-  ( <. x , y >. e. R -> x e. U. U. R )
23 18 22 sylbi 
 |-  ( x R y -> x e. U. U. R )
24 23 adantr 
 |-  ( ( x R y /\ y R x ) -> x e. U. U. R )
25 24 pm2.24d 
 |-  ( ( x R y /\ y R x ) -> ( -. x e. U. U. R -> x = y ) )
26 25 com12 
 |-  ( -. x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
27 26 alrimiv 
 |-  ( -. x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
28 id 
 |-  ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
29 27 28 ja 
 |-  ( ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
30 ax-1 
 |-  ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) -> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
31 29 30 impbii 
 |-  ( ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) <-> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
32 31 albii 
 |-  ( A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
33 17 32 bitri 
 |-  ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
34 16 33 anbi12i 
 |-  ( ( A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) /\ A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
35 4 5 34 3bitri 
 |-  ( A. x e. U. U. R ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
36 1 3 35 3bitri 
 |-  ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )