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Theorem subcn2

Description: Complex number subtraction is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of Gleason p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014)

Ref Expression
Assertion subcn2 ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 negcl ⊢ ( 𝐶 ∈ ℂ → - 𝐶 ∈ ℂ )
2 addcn2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ - 𝐶 ∈ ℂ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) )
3 1 2 syl3an3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) )
4 negcl ⊢ ( 𝑣 ∈ ℂ → - 𝑣 ∈ ℂ )
5 fvoveq1 ⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) = ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) )
6 5 breq1d ⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) )
7 6 anbi2d ⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ) )
8 oveq2 ⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( 𝑢 + 𝑤 ) = ( 𝑢 + - 𝑣 ) )
9 8 fvoveq1d ⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) )
10 9 breq1d ⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) )
11 7 10 imbi12d ⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
12 11 rspcv ⊢ ( - 𝑣 ∈ ℂ → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
13 4 12 syl ⊢ ( 𝑣 ∈ ℂ → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
14 13 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
15 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → 𝑣 ∈ ℂ )
16 simpll3 ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
17 15 16 neg2subd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( - 𝑣 − - 𝐶 ) = ( 𝐶 − 𝑣 ) )
18 17 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑣 ) ) )
19 16 15 abssubd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑣 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) )
20 18 19 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) )
21 20 breq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) )
22 21 anbi2d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ) )
23 negsub ⊢ ( ( 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( 𝑢 + - 𝑣 ) = ( 𝑢 − 𝑣 ) )
24 23 adantll ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( 𝑢 + - 𝑣 ) = ( 𝑢 − 𝑣 ) )
25 simpll2 ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
26 25 16 negsubd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 + - 𝐶 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) )
27 24 26 oveq12d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) = ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
28 27 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) )
29 28 breq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) )
30 22 29 imbi12d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
31 14 30 sylibd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
32 31 ralrimdva ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
33 32 ralimdva ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
34 33 reximdv ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
35 34 reximdv ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) )
36 3 35 mpd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) )