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Theorem rngdi

Description: Distributive law for the multiplication operation of a non-unital ring (left-distributivity). (Contributed by AV, 14-Feb-2025)

Ref Expression
Hypotheses rngdi.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
rngdi.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝑅 )
rngdi.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion rngdi ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rngdi.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2 rngdi.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝑅 )
3 rngdi.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
4 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
5 1 4 2 3 isrng ⊢ ( 𝑅 ∈ Rng ↔ ( 𝑅 ∈ Abel ∧ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Smgrp ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ( ( 𝑎 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑏 ) + ( 𝑎 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑎 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑎 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) ) )
6 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( 𝑎 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) )
7 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( 𝑎 · 𝑏 ) = ( 𝑋 · 𝑏 ) )
8 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( 𝑎 · 𝑐 ) = ( 𝑋 · 𝑐 ) )
9 7 8 oveq12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( ( 𝑎 · 𝑏 ) + ( 𝑎 · 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑏 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) )
10 6 9 eqeq12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( ( 𝑎 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑏 ) + ( 𝑎 · 𝑐 ) ) ↔ ( 𝑋 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑏 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) ) )
11 oveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( 𝑎 + 𝑏 ) = ( 𝑋 + 𝑏 ) )
12 11 oveq1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( ( 𝑎 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 + 𝑏 ) · 𝑐 ) )
13 8 oveq1d ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( ( 𝑎 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) )
14 12 13 eqeq12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( ( ( 𝑎 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑎 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) )
15 10 14 anbi12d ⊢ ( 𝑎 = 𝑋 → ( ( ( 𝑎 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑏 ) + ( 𝑎 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑎 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑎 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) ↔ ( ( 𝑋 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑏 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑋 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) ) )
16 oveq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( 𝑏 + 𝑐 ) = ( 𝑌 + 𝑐 ) )
17 16 oveq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( 𝑋 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑐 ) ) )
18 oveq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( 𝑋 · 𝑏 ) = ( 𝑋 · 𝑌 ) )
19 18 oveq1d ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( ( 𝑋 · 𝑏 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) )
20 17 19 eqeq12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( ( 𝑋 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑏 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) ↔ ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) ) )
21 oveq2 ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( 𝑋 + 𝑏 ) = ( 𝑋 + 𝑌 ) )
22 21 oveq1d ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( ( 𝑋 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑐 ) )
23 oveq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( 𝑏 · 𝑐 ) = ( 𝑌 · 𝑐 ) )
24 23 oveq2d ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑌 · 𝑐 ) ) )
25 22 24 eqeq12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( ( ( 𝑋 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑌 · 𝑐 ) ) ) )
26 20 25 anbi12d ⊢ ( 𝑏 = 𝑌 → ( ( ( 𝑋 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑏 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑋 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) ↔ ( ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑌 · 𝑐 ) ) ) ) )
27 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( 𝑌 + 𝑐 ) = ( 𝑌 + 𝑍 ) )
28 27 oveq2d ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑐 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) )
29 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( 𝑋 · 𝑐 ) = ( 𝑋 · 𝑍 ) )
30 29 oveq2d ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) )
31 28 30 eqeq12d ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) ↔ ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ) )
32 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑍 ) )
33 oveq2 ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( 𝑌 · 𝑐 ) = ( 𝑌 · 𝑍 ) )
34 29 33 oveq12d ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑌 · 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) + ( 𝑌 · 𝑍 ) ) )
35 32 34 eqeq12d ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑌 · 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) + ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) )
36 31 35 anbi12d ⊢ ( 𝑐 = 𝑍 → ( ( ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑋 · 𝑐 ) + ( 𝑌 · 𝑐 ) ) ) ↔ ( ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ∧ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) + ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) )
37 15 26 36 rspc3v ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ( ( 𝑎 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑏 ) + ( 𝑎 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑎 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑎 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) → ( ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ∧ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) + ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) )
38 simpl ⊢ ( ( ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ∧ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) + ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) )
39 37 38 syl6com ⊢ ( ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ( ( 𝑎 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑏 ) + ( 𝑎 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑎 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑎 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) → ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ) )
40 39 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Abel ∧ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Smgrp ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ( ( 𝑎 · ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑏 ) + ( 𝑎 · 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑎 + 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( ( 𝑎 · 𝑐 ) + ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ) )
41 5 40 sylbi ⊢ ( 𝑅 ∈ Rng → ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ) )
42 41 imp ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) )