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Theorem norm3dif

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of Beran p. 101. (Contributed by NM, 20-Apr-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion norm3dif ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fvoveq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) )
2 fvoveq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) )
3 2 oveq1d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) )
4 1 3 breq12d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) ) )
5 oveq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
6 5 fveq2d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
7 oveq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) = ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
8 7 fveq2d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
9 8 oveq2d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) )
10 6 9 breq12d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) ) )
11 oveq2 ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) )
12 11 fveq2d ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) )
13 fvoveq1 ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
14 12 13 oveq12d ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) + ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) )
15 14 breq2d ⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) + ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) ) )
16 ifhvhv0 ⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ
17 ifhvhv0 ⊢ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ∈ ℋ
18 ifhvhv0 ⊢ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ∈ ℋ
19 16 17 18 norm3difi ⊢ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) + ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
20 4 10 15 19 dedth3h ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) )