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Theorem norm3adifi

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of Beran p. 101. (Contributed by NM, 3-Oct-1999) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis norm3adift.1 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
Assertion norm3adifi ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 norm3adift.1 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
2 fvoveq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) )
3 2 fvoveq1d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) )
4 fvoveq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) )
5 3 4 breq12d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ) )
6 fvoveq1 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) )
7 6 oveq2d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) ) )
8 7 fveq2d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) ) ) )
9 oveq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
10 9 fveq2d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
11 8 10 breq12d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) )
12 ifhvhv0 ⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ
13 ifhvhv0 ⊢ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ∈ ℋ
14 12 13 1 norm3adifii ⊢ ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
15 5 11 14 dedth2h ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) )