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Theorem ltmul1a

Description: Lemma for ltmul1 . Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of Apostol p. 20. (Contributed by NM, 15-May-1999) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

Ref Expression
Assertion ltmul1a ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
2 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℝ )
3 1 2 resubcld ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
4 simpl3l ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
5 simpr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐴 < 𝐵 )
6 2 1 posdifd ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
7 5 6 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) )
8 simpl3r ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 0 < 𝐶 )
9 3 4 7 8 mulgt0d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 0 < ( ( 𝐵 − 𝐴 ) · 𝐶 ) )
10 1 recnd ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
11 2 recnd ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
12 4 recnd ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
13 10 11 12 subdird ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
14 9 13 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 0 < ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
15 2 4 remulcld ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
16 1 4 remulcld ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
17 15 16 posdifd ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ 0 < ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) ) )
18 14 17 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) )