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Theorem ltmul1

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of Apostol p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

Ref Expression
Assertion ltmul1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltmul1a ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) )
2 1 ex ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
3 oveq1 ⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) )
4 3 a1i ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
5 ltmul1a ⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐵 < 𝐴 ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) )
6 5 ex ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 < 𝐴 → ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
7 6 3com12 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 < 𝐴 → ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
8 4 7 orim12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ∨ ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) ) )
9 8 con3d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ¬ ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ∨ ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) → ¬ ( 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴 ) ) )
10 simp1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
11 simp3l ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
12 10 11 remulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
13 simp2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
14 13 11 remulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
15 12 14 lttrid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ ¬ ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ∨ ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) ) )
16 10 13 lttrid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ ( 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴 ) ) )
17 9 15 16 3imtr4d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) → 𝐴 < 𝐵 ) )
18 2 17 impbid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )