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Theorem lt2sub

Description: Subtracting both sides of two 'less than' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016)

Ref Expression
Assertion lt2sub ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐷 < 𝐵 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpll ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
2 simprl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
3 simplr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
4 ltsub1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐶 ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
5 1 2 3 4 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 < 𝐶 ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
6 simprr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐷 ∈ ℝ )
7 ltsub2 ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐷 < 𝐵 ↔ ( 𝐶 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) )
8 6 3 2 7 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐷 < 𝐵 ↔ ( 𝐶 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) )
9 5 8 anbi12d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐷 < 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) )
10 resubcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
11 10 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
12 2 3 resubcld ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
13 resubcl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℝ )
14 13 adantl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℝ )
15 lttr ⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) )
16 11 12 14 15 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) )
17 9 16 sylbid ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐷 < 𝐵 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) < ( 𝐶 − 𝐷 ) ) )