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Theorem lmodvsdir

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). ( ax-hvdistr1 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses lmodvsdir.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
lmodvsdir.a ⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
lmodvsdir.f ⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
lmodvsdir.s ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
lmodvsdir.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
lmodvsdir.p ⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝐹 )
Assertion lmodvsdir ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lmodvsdir.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 lmodvsdir.a ⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
3 lmodvsdir.f ⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
4 lmodvsdir.s ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
5 lmodvsdir.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
6 lmodvsdir.p ⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝐹 )
7 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝐹 ) = ( .r ‘ 𝐹 )
8 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝐹 ) = ( 1r ‘ 𝐹 )
9 1 2 4 3 5 6 7 8 lmodlema ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ) ) )
10 9 simpld ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) )
11 10 simp3d ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
12 11 3expa ⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
13 12 anabsan2 ⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
14 13 exp42 ⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → ( 𝑄 ∈ 𝐾 → ( 𝑅 ∈ 𝐾 → ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
15 14 3imp2 ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )