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Theorem llnexatN

Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses llnexat.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
llnexat.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
llnexat.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
llnexat.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
Assertion llnexatN ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 llnexat.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 llnexat.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 llnexat.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 llnexat.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
5 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
6 simp3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
7 simp2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑋 ∈ 𝑁 )
8 5 6 7 3jca ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ) )
9 eqid ⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
10 1 9 3 4 atcvrlln2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
11 8 10 sylan ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
12 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ HL )
13 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
14 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
15 14 3 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 13 15 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝑁 )
18 14 4 llnbase ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 17 18 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 14 1 2 9 3 cvrval3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) = 𝑋 ) ) )
21 12 16 19 20 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) = 𝑋 ) ) )
22 simpll1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
23 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
24 22 23 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ AtLat )
25 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
26 simpll3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
27 1 3 atncmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃 ) )
28 24 25 26 27 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃 ) )
29 28 anbi1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) = 𝑋 ) ↔ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) = 𝑋 ) ) )
30 necom ⊢ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞 )
31 eqcom ⊢ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) )
32 30 31 anbi12i ⊢ ( ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) = 𝑋 ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) )
33 29 32 bitrdi ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) = 𝑋 ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) )
34 33 rexbidva ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) = 𝑋 ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) )
35 21 34 bitrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) )
36 11 35 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) )