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Theorem lemul12b

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008)

Ref Expression
Assertion lemul12b ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lemul2a ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) )
2 1 ex ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 ≤ 𝐷 → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ) )
3 2 3comr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 ≤ 𝐷 → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ) )
4 3 3expb ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 ≤ 𝐷 → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ) )
5 4 adantrrr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( 𝐶 ≤ 𝐷 → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ) )
6 5 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( 𝐶 ≤ 𝐷 → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ) )
7 lemul1a ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐷 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) )
8 7 ex ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐷 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
9 8 ad4ant134 ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐷 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
10 9 adantrl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐷 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
11 6 10 anim12d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( ( 𝐶 ≤ 𝐷 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 · 𝐷 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
12 11 ancomsd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 · 𝐷 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
13 remulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
14 13 adantlr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
15 14 ad2ant2r ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
16 remulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝐷 ) ∈ ℝ )
17 16 ad2ant2r ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝐴 · 𝐷 ) ∈ ℝ )
18 17 ad2ant2rl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( 𝐴 · 𝐷 ) ∈ ℝ )
19 remulcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 · 𝐷 ) ∈ ℝ )
20 19 adantrr ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝐵 · 𝐷 ) ∈ ℝ )
21 20 ad2ant2l ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( 𝐵 · 𝐷 ) ∈ ℝ )
22 letr ⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 · 𝐷 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 · 𝐷 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 · 𝐷 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
23 15 18 21 22 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 · 𝐷 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
24 12 23 syld ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )