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Theorem latm4

Description: Rearrangement of lattice meet of 4 classes. ( in4 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses olmass.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
olmass.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion latm4 ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 olmass.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 olmass.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
4 simp2r ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
5 simp3l ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
6 simp3r ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
7 1 2 latm12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑍 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )
8 3 4 5 6 7 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑍 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )
9 8 oveq2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) )
10 simp2l ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
11 ollat ⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat )
12 11 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
13 1 2 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
14 12 5 6 13 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
15 1 2 latmassOLD ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) ) )
16 3 10 4 14 15 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) ) )
17 1 2 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
18 12 4 6 17 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
19 1 2 latmassOLD ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) )
20 3 10 5 18 19 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) )
21 9 16 20 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )