This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem latm4

Description: Rearrangement of lattice meet of 4 classes. ( in4 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses olmass.b 
|- B = ( Base ` K )
olmass.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
Assertion latm4 
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ ( Z ./\ W ) ) = ( ( X ./\ Z ) ./\ ( Y ./\ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 olmass.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 olmass.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
3 simp1 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> K e. OL )
4 simp2r 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
5 simp3l 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
6 simp3r 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
7 1 2 latm12 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( Y e. B /\ Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y ./\ ( Z ./\ W ) ) = ( Z ./\ ( Y ./\ W ) ) )
8 3 4 5 6 7 syl13anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y ./\ ( Z ./\ W ) ) = ( Z ./\ ( Y ./\ W ) ) )
9 8 oveq2d 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X ./\ ( Y ./\ ( Z ./\ W ) ) ) = ( X ./\ ( Z ./\ ( Y ./\ W ) ) ) )
10 simp2l 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
11 ollat 
 |-  ( K e. OL -> K e. Lat )
12 11 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> K e. Lat )
13 1 2 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z ./\ W ) e. B )
14 12 5 6 13 syl3anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z ./\ W ) e. B )
15 1 2 latmassOLD 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Z ./\ W ) e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ ( Z ./\ W ) ) = ( X ./\ ( Y ./\ ( Z ./\ W ) ) ) )
16 3 10 4 14 15 syl13anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ ( Z ./\ W ) ) = ( X ./\ ( Y ./\ ( Z ./\ W ) ) ) )
17 1 2 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
18 12 4 6 17 syl3anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
19 1 2 latmassOLD 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y ./\ W ) e. B ) ) -> ( ( X ./\ Z ) ./\ ( Y ./\ W ) ) = ( X ./\ ( Z ./\ ( Y ./\ W ) ) ) )
20 3 10 5 18 19 syl13anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X ./\ Z ) ./\ ( Y ./\ W ) ) = ( X ./\ ( Z ./\ ( Y ./\ W ) ) ) )
21 9 16 20 3eqtr4d 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ ( Z ./\ W ) ) = ( ( X ./\ Z ) ./\ ( Y ./\ W ) ) )