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Theorem isores2

Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013)

Ref Expression
Assertion isores2 ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) ↔ 𝐻 Isom 𝑅 , ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐴 , 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 f1of ⊢ ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 )
2 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
3 2 adantrr ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
4 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
5 4 adantrl ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
6 brinxp ⊢ ( ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) )
7 3 5 6 syl2anc ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) )
8 1 7 sylan ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) )
9 8 anassrs ⊢ ( ( ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) )
10 9 bibi2d ⊢ ( ( ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ) )
11 10 ralbidva ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ) )
12 11 ralbidva ⊢ ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ) )
13 12 pm5.32i ⊢ ( ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ) )
14 df-isom ⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) ↔ ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) 𝑆 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ) )
15 df-isom ⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐴 , 𝐵 ) ↔ ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ) )
16 13 14 15 3bitr4i ⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) ↔ 𝐻 Isom 𝑅 , ( 𝑆 ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ( 𝐴 , 𝐵 ) )