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Theorem indifdi

Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by BTernaryTau, 14-Aug-2024)

Ref Expression
Assertion indifdi ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elin ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) )
2 eldif ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) )
3 2 anbi2i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) )
4 abai ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) )
5 4 anbi2i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ) )
6 an12 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) )
7 eldif ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) )
8 elin ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
9 8 bicomi ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) )
10 imnan ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ↔ ¬ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ) )
11 elin ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ) )
12 10 11 xchbinxr ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) )
13 9 12 anbi12i ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) )
14 an21 ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ) )
15 7 13 14 3bitr2i ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ) )
16 5 6 15 3bitr4i ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) )
17 1 3 16 3bitri ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) )
18 17 eqriv ⊢ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) )