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Theorem iblpos

Description: Integrability of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014)

Ref Expression
Hypotheses iblrelem.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
iblpos.2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ 𝐵 )
Assertion iblpos ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iblrelem.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
2 iblpos.2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ 𝐵 )
3 1 iblrelem ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
4 df-3an ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) )
5 3 4 bitrdi ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
6 1 2 iblposlem ⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) = 0 )
7 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
8 6 7 eqeltrdi ⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ )
9 8 biantrud ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
10 2 ex ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝐵 ) )
11 10 pm4.71rd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ( 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
12 ancom ⊢ ( ( 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) )
13 11 12 bitr2di ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
14 13 ifbid ⊢ ( 𝜑 → if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) = if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) )
15 14 mpteq2dv ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) )
16 15 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) )
17 16 eleq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ↔ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) )
18 17 anbi2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
19 5 9 18 3bitr2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )