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Theorem hoaddass

Description: Associativity of sum of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 24-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion hoaddass ( ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑅 +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( 𝑅 +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oveq1 ⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( 𝑅 +op 𝑆 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) )
2 1 oveq1d ⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( ( 𝑅 +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) )
3 oveq1 ⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( 𝑅 +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) )
4 2 3 eqeq12d ⊢ ( 𝑅 = if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) → ( ( ( 𝑅 +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( 𝑅 +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) ) )
5 oveq2 ⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) )
6 5 oveq1d ⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op 𝑇 ) )
7 oveq1 ⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( 𝑆 +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) )
8 7 oveq2d ⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) ) )
9 6 8 eqeq12d ⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) ) ) )
10 oveq2 ⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
11 oveq2 ⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
12 11 oveq2d ⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) ) )
13 10 12 eqeq12d ⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op 𝑇 ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op 𝑇 ) ) ↔ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) ) ) )
14 ho0f ⊢ 0hop : ℋ ⟶ ℋ
15 14 elimf ⊢ if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
16 14 elimf ⊢ if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
17 14 elimf ⊢ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
18 15 16 17 hoaddassi ⊢ ( ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) = ( if ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑅 , 0hop ) +op ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) +op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
19 4 9 13 18 dedth3h ⊢ ( ( 𝑅 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝑅 +op 𝑆 ) +op 𝑇 ) = ( 𝑅 +op ( 𝑆 +op 𝑇 ) ) )