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Theorem elfzm11

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011)

Ref Expression
Assertion elfzm11 ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 peano2zm ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
2 elfz1 ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
3 1 2 sylan2 ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
4 zltlem1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )
5 4 anbi2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
6 5 expcom ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) )
7 6 pm5.32d ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) )
8 3anass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )
9 3anass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
10 7 8 9 3bitr4g ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
11 10 adantl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
12 3 11 bitr4d ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )