This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem dvdsgcdb

Description: Biconditional form of dvdsgcd . (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014)

Ref Expression
Assertion dvdsgcdb ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvdsgcd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁 ) → 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) )
2 gcddvds ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑀 ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 ) )
3 2 simpld ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑀 )
4 3 3adant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑀 )
5 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℤ )
6 gcdcl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
7 6 nn0zd ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ )
8 7 3adant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ )
9 simp2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℤ )
10 dvdstr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑀 ) → 𝐾 ∥ 𝑀 ) )
11 5 8 9 10 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑀 ) → 𝐾 ∥ 𝑀 ) )
12 4 11 mpan2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) → 𝐾 ∥ 𝑀 ) )
13 2 simprd ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 )
14 13 3adant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 )
15 dvdstr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 ) → 𝐾 ∥ 𝑁 ) )
16 8 15 syld3an2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 ) → 𝐾 ∥ 𝑁 ) )
17 14 16 mpan2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) → 𝐾 ∥ 𝑁 ) )
18 12 17 jcad ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) → ( 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁 ) ) )
19 1 18 impbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∥ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) )