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Theorem difinf

Description: An infinite set A minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009)

Ref Expression
Assertion difinf ( ( ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ¬ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 unfi ⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∪ 𝐵 ) ∈ Fin )
2 undif1 ⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∪ 𝐵 ) = ( 𝐴 ∪ 𝐵 )
3 2 eleq1i ⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∪ 𝐵 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ Fin )
4 unfir ⊢ ( ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ Fin → ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) )
5 4 simpld ⊢ ( ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin )
6 3 5 sylbi ⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∪ 𝐵 ) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin )
7 1 6 syl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → 𝐴 ∈ Fin )
8 7 expcom ⊢ ( 𝐵 ∈ Fin → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin ) )
9 8 con3d ⊢ ( 𝐵 ∈ Fin → ( ¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin ) )
10 9 impcom ⊢ ( ( ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ¬ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin )