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Theorem cvlatexch3

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 29-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cvlatexch.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cvlatexch.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cvlatexch.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion cvlatexch3 ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cvlatexch.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cvlatexch.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cvlatexch.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
5 simp21 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
6 simp23 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
7 simp22 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
8 simp3l ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
9 1 2 3 cvlatexchb1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
10 4 5 6 7 8 9 syl131anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
11 10 biimpa ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
12 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
13 cvllat ⊢ ( 𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat )
14 12 13 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
15 simpl21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
16 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17 16 3 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 15 17 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 simpl22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
20 16 3 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 19 20 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 16 2 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) )
23 14 18 21 22 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) )
24 1 2 3 cvlatexchb2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
25 24 3adant3l ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
26 25 biimpa ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
27 11 23 26 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
28 27 ex ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )