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Theorem cmbr3

Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of Kalmbach p. 23. (Contributed by NM, 14-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion cmbr3 ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 breq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ 𝐵 ) )
2 id ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) )
3 fveq2 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ⊥ ‘ 𝐴 ) = ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) )
4 3 oveq1d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) )
5 2 4 ineq12d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) )
6 ineq1 ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) )
7 5 6 eqeq12d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ) )
8 1 7 bibi12d ⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ) ) )
9 breq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ 𝐵 ↔ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
10 oveq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
11 10 ineq2d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) )
12 ineq2 ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
13 11 12 eqeq12d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) )
14 9 13 bibi12d ⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) ) )
15 h0elch ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
16 15 elimel ⊢ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
17 15 elimel ⊢ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
18 16 17 cmbr3i ⊢ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
19 8 14 18 dedth2h ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )