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Theorem cdleml3N

Description: Part of proof of Lemma L of Crawley p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml3.o ⊢ 0 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
Assertion cdleml3N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 cdleml3.o ⊢ 0 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
7 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
8 simp2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) )
9 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
10 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → 𝑈 ≠ 0 )
11 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
12 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
13 1 2 3 5 6 tendoid0 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) = ( I ↾ 𝐵 ) ↔ 𝑈 = 0 ) )
14 7 11 12 9 13 syl112anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) = ( I ↾ 𝐵 ) ↔ 𝑈 = 0 ) )
15 14 necon3bid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ↔ 𝑈 ≠ 0 ) )
16 10 15 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
17 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → 𝑉 ≠ 0 )
18 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
19 1 2 3 5 6 tendoid0 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) = ( I ↾ 𝐵 ) ↔ 𝑉 = 0 ) )
20 7 18 12 9 19 syl112anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) = ( I ↾ 𝐵 ) ↔ 𝑉 = 0 ) )
21 20 necon3bid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ↔ 𝑉 ≠ 0 ) )
22 17 21 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
23 1 2 3 4 5 cdleml2N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )
24 7 8 9 16 22 23 syl113anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )
25 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
26 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → 𝑠 ∈ 𝐸 )
27 simpl21 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
28 simpl23 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
29 2 3 5 tendocoval ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) )
30 25 26 27 28 29 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) )
31 30 eqeq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ↔ ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) )
32 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
33 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑠 ∈ 𝐸 )
34 simp121 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
35 2 5 tendococl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ∈ 𝐸 )
36 32 33 34 35 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ∈ 𝐸 )
37 simp122 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
38 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )
39 simp123 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
40 simp131 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
41 1 2 3 5 tendocan ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
42 32 36 37 38 39 40 41 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) → ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
43 42 3expia ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) → ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 ) )
44 31 43 sylbird ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) → ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 ) )
45 44 reximdva ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 ) )
46 24 45 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )