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Theorem cdleml4N

Description: Part of proof of Lemma L of Crawley p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml3.o ⊢ 0 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
Assertion cdleml4N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 cdleml3.o ⊢ 0 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
7 1 2 3 cdlemftr0 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
8 7 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
9 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
10 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
11 simp12r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
12 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
13 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
14 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝑈 ≠ 0 )
15 simp13r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝑉 ≠ 0 )
16 1 2 3 4 5 6 cdleml3N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
17 9 10 11 12 13 14 15 16 syl133anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )
18 17 rexlimdv3a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 ) )
19 8 18 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ∘ 𝑈 ) = 𝑉 )