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Theorem cdleml2N

Description: Part of proof of Lemma L of Crawley p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdleml2N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
7 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
8 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
9 2 3 5 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
10 6 7 8 9 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
11 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
12 2 3 5 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
13 6 11 8 12 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
14 1 2 3 4 5 cdleml1N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) )
15 2 3 4 5 cdlemk ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )
16 6 10 13 14 15 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )